Czym jest normalny rozkład prawdopodobieństwa ?
Opublikowane: 22/07/2012 Filed under: Niezrzeszone | Tags: normalny rozkład prawdopodobieństwa, odchylenie standardowe, przekładnia zębata, wartość średnia 1 komentarzW poprzednim linku naświetliłem kwestię wartości średniej i odchylenia standardowego. Pojęciem które pośrednio wynika z w/w zagadnień jest niesamowicie często występujący w przyrodzie motyw normalnego rozkładu prawdopodobieństwa. Na początek mus, tj. równanie normalnego rozkładu prawdopodobieństwa:
Jak widać jedynymi parametrami decydującymi o kształcie naszej krzywej są rzeczone odchylenie standardowe i wartość średnia naszego zestawu danych. Przedstawię istotę rozkładu prawdopodobieństwa na okrutnie książkowym przykładzie różnic wzrostu wśród mężczyzn. Gdy losowo wybierzemy dajmy na to 1000 mężczyzn z danej populacji i zmierzymy ich wzrost to na podstawie otrzymanego zestawu wartości (i w oparciu o posiadaną wiedzę z poprzedniego wpisu) będziemy w stanie określić wartość średnią spośród całej grupy oraz odchylenie standardowe wzrostu owej gromady. Podstawiając oba parametry do wzoru powyżej, obliczając wartość y dla każdej wartości x (tj. dla każdego wzrostu z naszych pomiarów) oraz kreśląc wykres wartości y w funkcji wartości odchylenia standardowego dopuścimy się stworzenia krzywej rozkładu prawdopodobieństwa wzrostu mierzonej populacji mężczyzn. Wykres nasz będzie przypominał ten przedstawiony poniżej gdzie na środku skali znajduje się wartość średnia a w obie strony odchodzą wartości odpowiadające wielokrotności odchylenia standardowego:
Wykres ten pomaga nam oszacować z jakim prawdopodobieństwem w danej populacji (którą będziemy określać na bazie naszej losowo wybranej grupy 1000 mężczyzn) losowo wybrany mężczyzna będzie miał interesujący nas wzrost. Załóżmy, ze wartość średnia wzrostu wyniosła 175cm, natomiast odchylenie standardowe 10cm. Załóżmy, ze interesuje nas prawdopodobieństwo, ze losowo wybrany mężczyzna będzie miał wzrost 189cm. Z wykresu powyżej dowiadujemy się , ze szanse wynoszą 13.5% a wiemy to stad gdyż 189cm leży w przedziale miedzy wartością średnią + 1* odchylenie standardowe a wartością średnią + 2* odchylenie standardowe.
Wszystko co w naturze występuje w sposób naturalny i nie jest modyfikowane w nienaturalny sposób ma duże szanse posiadania normalnego rozkładu prawdopodobieństwa. To z kolei pozwala zakładać wielkości pewnych parametrów z dużą dozą prawdopodobieństwa lub po prostu wnioskować o pewnych anomaliach gdy nagle pojawiające się wartości wychodzą poza model wzorowany na normalnym rozkładzie prawdopodobieństwa. W analizie wibracji zakłada się np. ze wibracje generowane przez przekładnie zębate maja rozkład normalny gdy pracują bez żadnych uszkodzeń a wykrycie odchyleń od tego rozkładu mają duże szanse być zwiastunami pojawiających się problemów mechanicznych.
P.S. wybaczcie słabą jakość wykresu i równania matematycznego ale tę notkę sporządzam na bardzo starej maszynie bez jakiegokolwiek środowiska obliczeniowego i bez żadnych narzędzi graficznych (oprócz Windosowskiego Painta który uratował tę notkę 🙂 )
Do czego służy przekładnia zębata i czym jest moment obrotowy?
Opublikowane: 03/04/2011 Filed under: Niezrzeszone | Tags: helikopter, moment obrotowy, przekładnia zębata, przerzutki, skrzynia biegów, wał, łożysko 3 KomentarzeJak to się dzieje, że silnik turbowałowy helikoptera obraca się z prędkością kilkunastu tysięcy obrotów na minutę i moment obrotowy wytwarzany przez ten silnik napędza wirnik helikoptera który obracają się z prędkością kilkudziesięciu razy na minutę ?
Głównie jest to zasługa tych zazębiających się, metalowych kółeczek zwanych kołami zębatymi. Rodzajów kół zębatych jest mnóstwo, a dość dobry ich opis można znaleźć np. TU.
Ja nie będę się koncentrował na tym jakie koła zębate występują w przyrodzie, ale powiem do czego one służą.
OK, chodzi mianowicie o to, aby z jak największą skutecznością przenieść (tj. przenieść w stanie niezmienionym, zwiększyć lub zmniejszyć) moment obrotowy wytwarzany przez źródło (w przypadku helikoptera to w/w silnik turbowałowy) do ostatecznego ‚odbiorcy’ tego momentu ( w helikopterze jest to śmigło).
Moment obrotowy jest to moment pochodzący od pewnej siły, który baaardzo lubi obracać rzeczy. W fizyce moment obrotowy siły F względem punktu A definiuje się jako ilość siły F pomnożona przez odległość od punktu A. Na tej zasadzie opierają się wszelkiego rodzaju dźwignie. Rzućmy okiem na sytuację poniżej:
Załóżmy, iż chcemy przesunąć ten brązowy głaz. Po lewej stronie bierzemy badyla długośći ‚a’ i działamy na niego siłą F. Wytwarzamy tym samym moment obrotowy F*a. Jeśli wrócimy do lasu i poszukamy badyla który ma długość 2*a to przykładając te samą siłę F wytworzymy moment obrotowy 2*a*F i głaz drgnie dużo łatwiej. Jak widać – wbrew obiegowej opinii – długość ma kolosalne znaczenie.
Podobnie jest w silniku Twego auta – moment obrotowy to siła z jaką wypychany jest tłok w cylindrze silnika pomnożona przez długość wykorbienia wału korbowego.
Na bazie wprowadzanie wyobraźmy sobie dwa koła zębate: jedno większe (z większą ilością zebów) i mniejsze (z ilością zebów mniejszą). Albo nie wyorażajmy sobie tego, tylko zerknijmy na rycinę poniżej:
Szkic powstał na potrzeby anglojęzyczne, zatem szybki kurs języka: bearing to łożysko, shaft to wał, gear – koło zębate. Opis drukowany oznacza stronę napędzającą – drive, oraz napędzaną – driven. Dobra, powróćmy do meritum:
załóżmy, że wał napędzający ma prędkość 10 obrotów na minutę, koło zębate po tej samej stronie ma 20 zębów a koło po stronie napędzanej ma zębów 30. Stosunek zębów wynosi zatem 20:30 lub trzymają się standardowego zapisu 1:1.5. Dzieląc prędkość wału napędzającego przez prawą część tego stosunku otrzymamy prędkość z jaką obraca się wał napędzany: 10/1.5 = 6.67 obrotów na minutę.
Z drugiej strony jednak wiemy, że koło napędzające działa na koło napędzane z pewną siłą F, a odległość od środka tego koła do jego zewnętrzej części wynosi a. Moment obrotowy na zębatce napędzajacej wynosi zatem F*a. Drugie koło, cfaniak jeden, będzie miał tą samą siłę F, ale większy dystans od środka na zewnątrz b. Moment obrotowy zatem wzrośnie: F*a<F*b.
Reasumując zatem: wał po stronie napędzanej będzie się kręcił z mniejszą prędkością, ale będzie przenosił większy moment obrotowy. Nawiązując zatem do pierwotnego pytania ”Jak to się dzieje, że silnik turbowałowy helikoptera obraca się z prędkością kilkunastu tysięcy obrotów na minutę i moc wytwarzana przez ten silnik napędza śmigła helikoptera które obracają się z prędkością kilkudziesięciu razy na minutę ?” odpowiedź jest taka, że poprzez układ wielu przekładni zębatych różnego rodzaju prędkość wałów jest nieustannie zmniejszana, ale tym samym moment obrotowy jest ciągle zwiększany i ostatecznie osiąga swą maksymalną wartość tam gdzie jest to najbardziej przydatne: przy samym wirniku.
Na jakiej zasadzie działają przerzutki w rowerze czy skrzynie biegów w samochodach ? Dokładnie takiej samej !
Vibration Analysis 