Rośniemy

Po roku od założenia bloga została przekroczona magiczna bariera 1500 unikatowych odsłon strony w miesiącu. Patrząc na zestawienie poniżej wyraźnie widać, że z każdym miesiącem przybywało głodnych wiedzy (za wyjątkiem spadków w lipcu i sierpniu – wakacje, oraz grudniu – Święta).  Dzięki !


Czym jest histogram ?

Zanim przejdę do bardziej skomplikowanych aspektów monitorowania kondycji np. przekładni zębatych trzeba mi wprowadzić kilka podstawowych pojęć. Jednym z nich jest bardzo przydatne narzędzie – histogram.

Wikipedia podaje, że histogram to jeden z graficznych sposobów przedstawiania rozkładu empirycznego cechy- i już człowiek zagotowany.

Po ludzku – histogram to nic innego jak przedstawienie na wykresie ilości wystąpień danych zdarzeń. Przykład z życia wzięty: poszedłeś do salonu samochodowego i w czasie całej wizyty nie mogąc się zdecydować w którym aucie najlepiej się siedzi wchodziłeś do różnych modeli po kilka razy. Po całym dniu zagubiony w ilości wejść nie potrafisz stwierdzić w którym siedziałeś najczęściej. Zrób chopie histogram i tajemnica się rozwiąże.

Zakładamy, że w aucie nr 1 siedziałeś 1 raz, w aucie nr 2 – 2 razy, aucie nr 3 – 3 razy, aucie nr 4 – 4 razy, aucie nr 5 – 5 razy, aucie nr 6 – 4 razy, aucie nr 7 – 3 razy, aucie nr 8 – 2 razy i aucie nr 9 – 1 raz.  Oczywiści nieważna jest kolejność wsiadania do poszczególnych modeli. Spójrzmy na histogram gdzie na osi X znajduję się numer auta, a na osi Y ilość wizyt w każdym z nich.

histogram

   Widzimy jasno jak rozkłada nam się ilość zdarzeń dla poszczególnego modelu. Opcja histogramu w cyfrowych aparatach fotograficznych lub programach obróbki graficznej pozwala na zorientowanie się jak wygląda rozład pikseli posiadających odmienny stopień jasności.   Wracając na pole monitorowania kondycji – tego typu informacje są ważne w śledzeniu zmian następujących w amplitudzie wibracji generowanych przez dany komponent. Każda bardziej permanentna zmiana musi mieć swoje źródło i  wczesne rozpoznanie owych zmian daje więcej czasu do reakcji.


Filtracja sygnału a rodzaje filtrów.

W poprzedniej notce w której opisałem jak wykrywać defekty łożysk w spektrum wspomniałem, iż – cytuję:

warto przyglądać się obszarowi rezonansu elementów maszyny.

Jednym ze sposobów praktycznej realizacji owego stalkingu jest użycie bardzo popularnych w świecie cyfrowego przetwarzania sygnałów filtrów, które umożliwiają odseparowanie niechcianych elementów od tych interesujących nas. Gdy szukam w portfelu monety o nominale 1zł mój mózg automatycznie nakłada na oczy filtr który sprawia, że koncentruję się tylko i wyłącznie na konkretnym wyglądzie i rozmiarze monety. Filtry elektroniczne działają na podobnej zasadzie – pozwalają one na zdefiniowanie jaki obszar częstotliwości jest w kręgu naszych zainteresowań a następnie wyeliminuje cała resztę pozostawiając tylko rządany przedział.

Można rozróżnić 4 podstawowe rodzaje filtrów:

1: filtr dolnoprzepustowy (and. lowpass filter) przy pomocy którego definiujemy do jakiego zakresu częstotliwości mają pozostać nietknięte i tym samym od jakiej wartości cała reszta ma być odfiltrowana. Definicja filtru dolnoprzepustowego od np. 100Hz oznacza, że komponenty od 0Hz do 100Hz pozostaną w spektrum, a cała reszta zostanie poproszona o opuszczenie sali. Filtr dolnoprzepustowy zazwyczaj symbolicznie prezentuje się jak na rysunku poniżej:

filtr dolnoprzepustowy

2: filtr górnoprzepustowy (and. highpass filter) gdzie precyzujemy od którego momentu częstotliwości mają być obecne w sygnale a wszystko co poniżej zdefiniowanej granicy zostanie stracone. Rysunek poniżej przedstawia ideę:

filtr górnoprzepustowy

3: filtr środkowoprzepustowy (lub pasmowoprzepustowy) (ang. bandpass filter) gdzie mamy moc pozostawienia w sygnale tylko pewnej części pasma np. od 10Hz do 150Hz a wszystko co poniżej i powyżej pożegna się z zabawą. Schematyczna zasada działania wygląda tak:

filtr pasmowoprzepustowy4: filtr środkowozaporowy (lub pasmowozaporowy) (ang. bandstop filter) czyli sytuacja przeciwna do filtru środkowoprzepustowego – definiujemy która część pasma ma być wyproszona ze spektrum a cała reszta pozostanie nietknięta jak na rycinie poniżej:

filtr pasmowozaporowy


Defekty łożysk – detekcja w spectrum

Poprzednia notka tyczyła się sposobów obliczania częstotliwości defektów łożysk. Tak, obliczenia to krok pierwszy. Ważniejszym jednak jest rozpoznanie i zdiagnozowanie odpowiednich częstotliwości w spektrum danego sygnału. Sprawa nie jest tak prosta jak mogłoby się wydawać: nie wystarczy jedynie dokonać transformaty FFT na naszym sygnale i zlokalizować czestotliwości odpowiadające odpowiednim defektom. Energia zawarta w tych komponentach nie jest na tyle duża aby wyraźnie wystawać ponad dużo głośniejsze składowe wibracji przez co ginie z pola widzenia w ich otoczeniu.

Jest jednak pewna właściwość przedmiotów, która pozwala na dużo łatwiejsze (co nie zawsze oznacza, że łatwe) znajdywanie oznak usterek. O właściwościach tych pisałem przy okazji charakteryzowania akcelerometrów – i chodzi tu o częstotliwości własne, tudzież rezonansowe przedmiotów. Trzeba wiedzieć, że sygnał o charakterze impulsowym pobudza bardzo szerokie spektrum częstotliwości. W tym samym czasie uderzenia powodowane defektami łożysk mają jak najbardziej charakter impulsowy właśnie – dynamiczny kontakt ‘metal o metal’ zawsze prowadzi do generacji impulsów. Dobra – rezonans, impuls, szerokie spektrum częstotliwości – podsumowuj powoli człowieku bo się gubię…

Załóżmy, że uszkodziła nam się kulka w łożysku. Pewna jej część ukruszyła się, w rezultacie czego powstała chropowata powierzchnia tam gdzię ubytek miał miejsce. Kulka obracając się uderza impulsowo (i okresowo) o ‘zdrową’ powierzchnię pierścieni łożyska. Generowany jest impuls. Impuls ten, gdy popatrzymy na wytworzoną wibrację w dziedzinie częstotliwości, pobudza szereg komponentów w całym dostępnym paśmie. Bardzo prawdopodobne, że w skład tych komponentów wchodzi częstotliwość rezonansowa np. akcelerometru lub obudowy łożyska. Jak wiemy z notki o rezonansie, ma on właściwość wzmacniania wszelkich częstotliwości, które znajdują się w jego regionie.

Czego mamy szukać w spektrum zatem ? Ano warto przyglądać się obszarowi rezonansu elementów maszyny i szukać równomiernie rozmieszczonych – w odległości odpowiadającej obliczonej częstotliwości defektu łożyska –  wystających ponad poziom szumu częstotliwości.

Jest jeszcze jedna ważna kwestia: modulacja amplitudy. Skup się. Sygnał o częstotliwości defektu pierścienia zewnętrznego nie będzie podlegał temu zjawisku, gdyż pierścień zewnętrzny nie przemieszcza się w trakcie pracy. Każdy kontakt jaki nastąpi (pomiędzy uszkodzoną powierzchnią pierścienia a ‘zdrową’ kulką) bedzie zawsze w tym samym miejscu więc akcelerometr (który naturalnie nie zmienia swej pozycji) bedzie odbierał sygnał z taką samą mocą i z tego samego kierunku. Inaczej ma się sprawa w przypadku pierścienia wewnętrznego który – osadzony na obracającym się wale – również podlega rotacji. Tutaj każdy kontakt między uszkodzoną powierzchnią pierścienia a kulką bedzie miał miejsce w innym punkcie obrotu wału przez co akcelerometer będzie odbierał sygnały z różnych miejsc i o różnym natężeniu. Z racji, że pierścień obraca się z częstotliwościa równą częstotliwości obrotu wału, komponenty widoczne w spektrum i odpowiadające defektowy pierścienia, będą modulowane prędkością wału co ukaże się w spektrum w formie wstęg bocznych. W przypadku defektu kulki będzie miała miejsce podobna modulacja jak w przypadku pierścienia wewnętrznego, jednak tym razem częstotliwości oddalone o obliczoną wartość BSF (patrz wzory w poprzedniej notce) będa modulowane przez FTF – gdyż dokładnie tyle czasu zajmuje jednej kulce przebycie pełnego cyklu wewnątrz łożyska.   Trochę to skomplikowane, wiem, ale zastanów się nad tym na spokojnie a na pewno zauważysz sens.

Szkic poniżej przedstawia opisane zależności modulacji kolejno dla BPFO, BPFI i BSF.  Odległości między poszczególnymi częstotliwościami w każdym z trzech przypadków na rysunku jest taka sama, jednak w rzeczywistości- zgodnie z opisem – bedzie ona zależała od obliczonych wartości częstotliwości defektów.

bearing defect modulations


Defekty łożysk – obliczenia

Monitorowanie kondycji maszyn polega na sprawdzaniu czy dany układ pracuje prawidłowo, a jeśli coś wygląda nie tak jak powinno – trzeba postawić diagnozę co się dzieje.  Okej, załóżmy zatem, że w naszym przypadku dzieje się coś złego z łożyskiem. Ta notka odpowie na pytanie co może się łożysku przytrafić i jak określić częstotliwość odpowiadającą konkretnym defektom .

Czym jest łożysko i z jakich elementów się składa opowiadałem w dedykowym wpisie. Wiemy już zatem, że głównymi składowymi łożysk są: pierścień zewnętrzny, pierścień wewnętrzny, kulki oraz koszyk. Co się może zatem popsuć ? Hmm idąc przykladem jednego z polskich banków wymyślę sobie coś co nazwę Prawem Ironii Losu numer na przykład 101 i palnę, iż jeśli coś może się popsuć to popsuje się na pewno (pozdrawiam prawa pana Murphy’ego). Okej – nic odkrywczego zatem. Nas interesuje jednak jak daną usterkę wykryć w gąszczu częstotliwości generowanych przez maszynę. Z racji, że łożysko pracuje w bardzo przewidywalny sposób, nie trudno jest obliczyć jaką częstotliwość będzie generowała dana usterka. I tak posłużę się szeroko prezentowanymi w literaturze wzorami. Życie na szczęście nie jest polską szkołą gdzie wszystkie wzory świata trzeba umieć na pamięc przed sprawdzianem, ale bardziej szkołą fińską, gdzie po wzory sięgamy do źródeł. W tym akurat wypadku informacji dobyłem z poniższej publikacji dostępnej (za opłatą $35) w cudnym serwisie Science Direct.

A comparison of some vibration parameters for the condition monitoring of rolling element bearings“, N.Tandon, Measurement, Vol. 12, p.285-289, 1994

Zestawienie poniżej przedstawia wzory na podstawie których obliczyć można poszczególne częstotliwości defektów elementów łożysk.

bearing defect frequencies

gdzie: BPFO – Ball Pass Frequency Outer – Częstotliwość defektu pierścienia zewnętrznego, BPFI – Ball Pass Frequency Inner – Częstotliwość defektu pierścienia wewnętrznego, BSF – Ball Spin Frequency – Częstotliwość defektu kulki, FTF – Fundamental Train Frequency – Częstotliwość defektu koszyka, Nb – Number of balls – ilość kulek w łożysku, Bd – Ball diameter – średnica kulki, Pd – pitch diameter – odległość między przeciwległymi kulkami w łożysku, θ – Contact angle – kąt pomiędzy kulkami a pierścieniami, fr – prędkość obrotu wału na którym dane łożysko pracuje.

Wszystkie informacje znajdujące się po prawej stronie znaków równości są zazwyczaj dostarczane przez producenta łożysk. Wystarczy trochę pogrzebać w katalogach. Niestety – nie każdy producent (jak na przykład potentat SKF) chce się chwalić detalami swoich produktów i zamiast podawać szczegółowe dane, umieszcza w internecie kalkulatory lub wręcz gotowe wartości częstotliwości defektów (zależne od prędkości wału oczywiście). Jak ktoś ufa i nie lubi liczyć – jak znalazł.

W następnej notce opiszę w jaki sposób szukać tych częstotliwości w spektrum wibracji generowanych przez wadliwy komponent.


Czym jest modulacja amplitudy ?

Modulacja amplitudy (ang. amplitude modulation) jest zjawiskiem często spotykanym w dziedzinie monitorowania kondycji czy diagnostyki elementów obracających się. Bardzo często występuje w przypadku pojawienia się usterek przekładni zębatych lub łożysk (czym zajmę się w detalach w nadchodzących wpisach).

Modulacja amplitudy jest zjawiskiem dosyć prostym w swej naturze i czytelnie manifestuje swoją obecność zarówno w dziedzinie czasu jak i częstotliwości. Wyobraź sobie, że siedzisz na karuzeli, która obraca się z częstotliwością 10 razy na sekundę (10Hz) i wydajesz z siebie pewien dźwięk radości. Dla prostoty demonstracji załóżmy, że sygnał jest sinusoidalny, ma stałą częstotliwość (100Hz) i stałą amplitudę (1). Sygnał widzimy na rysunku poniżej.

sinusoidA jego spektrum wygląda tak:

sinusoid spectrum

Osoba która obraca Twoją karuzelę (czyli pozostaje w spoczynku względem Twojego ruchu) trzyma mikrofon i nagrywa to czym Ty go raczysz. Po chwili szalonej rozrywki idziecie do domu i po uprzednim zgraniu nagrania na komputer odsłuchujecie dzieło. Co słychać ? Pomimo, iż Ty wydawałeś dźwięk o stałej amplitudzie na nagraniu wyraźnie słuchać efekt Twojego oddalania się od mikrofonu i przybliżania się do niego. W dziedzinie czasu sygnał wyglądałby mniej więcej jak na rysunku poniżej.

modulated sinusoid

Co się stało ? Wytłumaczenie jest proste – im bliżej Twoje gardło (źródło dźwięku) było mikrofonu, tym więcej energii zawartej w Twoim sygnale było przez ów mikrofon ‘zbieranej’. Im dalej odjeżdżałeś, tym nagrywany sygnał był słabszy, gdyż dźwięk musiał pokonać dłuższy dystans poświęcając na to pewną część własnej energii. Analizując rysunek powyżej wyraźnie widać, że Ty jako źródło dźwięku 10 razy na sekundę przybliżałeś się do mikrofonu po czym oddalałeś się. Twój odgłos został zmodulowany częstotliwością 10Hz z jaką obracała się karuzela. Spójrzmy w spektrum:

modulated sinusoid spectrumTo co widać jest charakterystyczną oznaką modulacji amplitudowej: Twój sygnał radości widać niezmiennie w punkcie wskazującym 100Hz na osi częstotliwości, natomiast dodatkowe komponenty które pojawiły się po obu stronach naszego sygnału to tak zwane wstęgi boczne (ang. sidebands) które występują w punktach 90Hz i 110Hz (czyli 100Hz Twojego okrzyku +/- 10Hz częstotliwości obrotu karuzeli).

Analogia okrzyku i mikrofonu której użyłem w tej notce ma proste przeniesienie do świata rzeczywistych pomiarów wibracji, gdzie źródłem dźwięku jest wibracja generowana przez usterkę znajdującą się na obracającym się obiekcie (np. na łozysku), a mikrofonem jest np. akcelerometr. Rodzajom defektów łożysk zostanie poświęcony kolejny wpis.


Do czego służą i jak działają łożyska ?

Łożysko i łożyska – wszędzie ! Gdzie nie spojrzysz i dokładniej nie zaglądniesz – łożysko. Ale czemu ? Po co ?

Wywód pozwolę sobie rozpocząć cytując klasyka polskiego internetu Krzysztofa Kononowicza:

Nie będzie niczego

i parafrazując go stwierdzę, że gdyby nie było łożysk nie byłoby niczego – albo byłoby wszystko tylko trzebaby to nieustannie  naprawiać i wymieniać.

Dwie podstawowe role, jakie spełniać powinno każde łożysko to:

  1.  Usprawniać płynną pracę obracających się elementów chroniąc tym samym ich powierzchnię w myśl zasady, że o wiele lepiej toczyć niż posuwać.
  2. Chronić obracający się element przed zgubnym oddziaływaniem sił grawitacji.

Ad. 1)

Wyobraźmy sobie proces budowania piramid w starożytnym Egipcie. Ogromne głazy musiały być nieustannie przesuwane po piasku z miejsca na miejsce. Aż pewnego dnia narodziła się Eureka i ktoś wpadł na pomysł podkładania pod głazy pni drzew. O wiele łatwiej toczyć niż posuwać ? Ale i owszem. Odnosząc analogię do czasów współczesnych – samochód i jego koła. Dużo trudniej byłoby samochodowi poruszać się po drodze jeśli kontakt z podłożem byłby jedynie poprzez podwozie. A tu masz – okrąg rozwiązuje problem idealnie.

Ad. 2)

Rozważmy rycinę poniżej: sytuacja a obrazuje wał który dopiero rozpoczął swoją pracę obracając się wokół własnej osi zgodnie z kierunkiem wskazywanym przez strzałkę (temu obrotowi towarzyszy z pewnością pewien moment obrotowy).  Po niedługim czasie jednak wał zmienia swój kształt i z prostego walca zaczyna mutować się w kształt dyktowany ciężarem własnym wału i.e. wygina się w dół (rycina b). Praca wału w takich okolicznościach jest daleka od ideału i w krótkim czasie prowadzi do defektu. Wspierając jednak wał poprzez umieszczenie na środku jakiegoś wspornika powodujemy, że ciężar własny walca ma się na czym oprzeć, tym samym pozwalając wałowi na zachowanie optymalnego kształtu.

lozysko

Oprócz roli anty-wyginającej, wspornik nie może w żaden sposób przeszkadzać wałowi w swobodnym kręceniu się.  Wspornik taki (znaznaczony na rycinie c zielonym prostokątem z dwiema prostymi łączącymi przekątne) to właśnie łożysko (ang. bearing). Spójrz poniżej celem wizualizacji przekroju poprzecznego najprostszego łożyska:

bearing

 No i co my tu mamy: czerwony obwód to pierścień zewnętrzny (ang. outer ring); szarne okręgi to kulki (ang. balls); żółty pierścień to z kolei pierścień wewnętrzny (ang. inner ring). Wewnątrz pierścienia wewnętrznego przebiega nasz kręcący się wał. Przez to, że kulki stykają się z oboma pierścieniami punktowo, obrót łożyska – a przez to i wału – jest bardzo płynny. Jest jeszcze jeden detal, którego nie umieściłem na rysunku aby nie psuć klarowności – jest to tak zwany ‘koszyk’ (ang. cage) w którym osadzone są kulki a celem jego jest zapobieganie stykaniu się kulek między sobą.

Ot cała filozofia. Naturalnie istnieje wiele różnych rodzajów łożysk, które różnią się przede wszystkim kształtem elementu obracającego się (zamiast kulek mogą to być walce, igiełki (bardzo cieńkie walce), baryłki (węższe po bokach niż na środku) czy ścięte stożki). Każdy z elementów tocznych pozwala na inny rodzaj pracy łożyska i dobiera się je w zalezności od rodzaju i wielkości sił oddziaływujących na łożysko.


Monitorowanie kondycji a diagnostyka a prognostyka

Monitorowanie kondycji, diagnostyka i prognostyka są często pojęciami w mylny sposób używanymi w niezgodnych z definicją okolicznościach. Różnica jest natomiast prosta, acz znacza. Prześledźmy na przykładzie łożyska:

Monitorowanie kondycji (ang. condition monitoring) przeprowadzamy wtedy gdy przy użyciu dostępnych technik i urządzeń śledzimy (i.e. monitorujemy) co w danym momencie z naszym łożyskiem się dzieje czyli – z punktu widzenia analizy wibracji – słuchamy jakie wibracje są aktualnie generowane przez łożysko. Monitorowanie kondycji może być ciągłe (non stop) lub okresowe (przeprowadzane co jakiś czas, najlepiej ze stałą częstotliwością).

Diagnostyka (ang. diagnosis) to umiejętność poprawnej interpretacji informacji dostarczonej nam przez monitorowanie kondycji (i.e. umiejętność zdiagnozowania) i wyciągnięcia stosownych wniosków odnoście tego czy nasze łożysko pracuje poprawnie, czy też miała miejsce jakiegoś rodzaju awaria (o typach awarii w łożyskach wypowiem się niedługo). Nawiasem mówiąc w przypadku łożysk tocznych symptomy poszczególnych awarii są relatywnie łatwe do wykrycia dla doświadczonego diagnosty – co niekoniecznie jest faktem w przypadku bardziej złożonych struktur.

Prognostyka (ang. prognosis) skupia w sobie wszystkie działania mające na celu oszacowanie tego, co będzie się z moim łożyskiem działo w przyszłości (bliskiej lub dalekiej) i np. jak długo jeszcze będzie ono w stanie pełnić pokładaną w nim nadzieję na poprawne funkcjonowanie. W tym wypadku ostateczną odpowiedź uzyskuje się na podstawie łączenia informacji pochodzących z kilku różnych źródeł m.in. szybkości z jaką dana usterka postępuje (historia wibracji),  obserwacji w danej chwili (stan na chwilę obecną), skomplikowanych modeli matematycznych opartych na zagadnieniach rachunku prawdopodobieństwa czy wreszcie specjalnych tabel, które zawierają w sobie historie podobnych zdarzeń i pomagają w przewidywaniu tego co nastąpić może.


Na czym polega próbkowanie, co to jest aliasing i czym jest częstotliwość Nyquista ?

Wiemy już od jakiegoś czasu na czym polega praca akcelerometru i co on mierzy. Pytanie które chcę zadać w tym momencie jest następującej treści: jak to się dzieje, że to napięcie, które ‘wychodzi‘ z akcelerometru może być odczytywane przez np. mój komputer czy jakiekolwiek inne cyfrowe urządzenie ?

Ano wszystko to ma miejsce dzięki zabiegowi noszącemu nazwę ‘próbkowania’ (ang. sampling). W skrócie rzecz ujmując chodzi o to, aby napięcie z wyjścia akcelerometru przetworzyć na postać cyfrową tj. poddać to napięcie zabiegowi cyfryzacji lub dyskretyzacji. Odbywa się to przy pomocy tzw. przetworników analogowo-cyfrowych które biorąc na wejście sygnał analogowy (tj. ciągły w czasie) przetwarzają go na postać cyfrową (tj. dyskretną w czasie czyli nieciągła – posiadającą luki o nieznanej wartości pomiędzy kolejnymi wartościami). O detalach przetworników analogowo-cyfrowych można poczytać np. tu . Ja powiem tylko to, co jest najważniejsze z punktu widzenia diagnostyki maszyn.

Tak więc jak taka cyfryzacja przebiega ? Przetwornik analogowo-cyfrowy (A/C) bierze analogywy sygnał i próbkuje go z pewną częstotliwością – zczytuje wartości danego sygnału w równych odstępach czasowych (równych 1/częstotliwość próbkowania) i zachowuje je w chronologicznej kolejności. Przykład analogowej i spróbkowanej sinuoidy widac na rycinie poniżej gdzie linia ciągła oznacza analogowy sygnał a kółeczka to poszczególne próbki sygnału czyli efekt jego próbkowania. Sygnał ma częstotliwość 20Hz i został spróbkowany z częstotliwością 1024 próbek/sekundę.  Na rycinie poniżej pokazałem tylko pierwszych 512 próbek czyli dziesięć cykli sinusoidy.

cyfryzacja sinusoidy

Im większa częstotliwość próbkowania (and. ‘sampling frequency‘) tym szczegóły sygnału analogowego lepiej zachowane w postaci cyfrowej.  I vice versa – im mniejsza częstotliwość próbkowania tym scyfrowany sygnał uboższy w szczególy. Poniższy obrazek przedstawia tą samą sinusoidę lecz scyfrowaną z częstotliwością 128 próbek/sekundę.

cyfrowa sinusoida

Kolejne pytanie nasuwa się samo: to z jaką częstotliwością najlepiej próbkować ?  Aby odpowiedzieć sobie na to pytanie musimy zapoznać się z pojęciem częstotliwości Nyquista.

Chodzi o to, że w myśl tzw. twierdzenia Kotielnikowa-Shannona częstotliwość próbkowania musi być nie mniejsza niż DWA RAZY najwyższa częstotliwość jakiej spodziewamy się w rejestrowanym sygnale (w praktyce jest to przynajmniej 2.56). Czyli spodziewając się sygnału 100Hz musiamy próbkować sygnał z częstotliwościa przynajmniej 200 próbek/sekundę. Dlaczego ? Ano dlatego, aby poprawnie przetworzyć każdą częstotliwość i uniknąć zjawiska tzw. aliasingu.

Skonstruowałem sinusoidę o częstotliwościach 200, 450 i 700 Hz a następnie spróbkowałem ją z częstotliwością 2048 próbek/sekundę (ważnym z praktycznego punktu widzenia aby częstotliwość próbkowania była którąś z potęg 2). Spektrum owego sygnału widać poniżej:

spektrum FFT

Wszystko gra, prawda ? Trzy komponenty: 200Hz, 450Hz i 700Hz. Jest tak dlatego, że spróbkowałem ten sygnał zgodnie z twierdzeniem Kotielnikowa-Shannona (maksymalna częstotliwość w moim sygnale to 700Hz a ja spróbkowałem go z częstotliwością 2048 próbek/sekundę tj. wiecej niż 2x700HZ.

Co się stanie jednak, jeśli ten sam sygnał spróbkuję z częstotliwością 1024 próbek/sekundę?

spectrum FFT

Hmm: 200Hz – jest, 450Hz – jest…a gdzie 700Hz ? i skąd 324Hz ? Ano właśnie – pokarało mnie za próbkowanie z częstotliwością mniejszą niż 2x700Hz i komponent z 700Hz ‘odbił’ mi się od połowy mojej częstotliwości próbkowania w efekcie czego spektrum jest przekłamane. Spójrz poniżej: Komponent 324 powstał w skutek odbicia się 700Hz od granicy 512Hz (700-512=188; 512-188=324).

aliasing

Aliasing jest zły ! Wystrzegaj się go ! :)


Do czego służy przekładnia zębata i czym jest moment obrotowy?

Jak to się dzieje, że silnik turbowałowy helikoptera obraca się z prędkością kilkunastu tysięcy obrotów na minutę i moment obrotowy wytwarzany przez ten silnik napędza wirnik helikoptera który obracają się z prędkością kilkudziesięciu razy na minutę ?

Głównie jest to zasługa tych zazębiających się, metalowych kółeczek zwanych kołami zębatymi. Rodzajów kół zębatych jest mnóstwo, a dość dobry ich opis można znaleźć np. TU.

Ja nie będę się koncentrował na tym jakie koła zębate występują w przyrodzie, ale powiem do czego one służą.

OK, chodzi mianowicie o to, aby z jak największą skutecznością przenieść (tj. przenieść w stanie niezmienionym, zwiększyć lub zmniejszyć) moment obrotowy wytwarzany przez  źródło (w przypadku helikoptera to w/w silnik turbowałowy) do ostatecznego ‘odbiorcy’ tego momentu ( w helikopterze jest to śmigło).

Moment obrotowy jest to moment pochodzący od pewnej siły, który baaardzo lubi obracać rzeczy. W fizyce moment obrotowy siły F względem punktu A definiuje się jako ilość siły F pomnożona przez odległość od punktu A.  Na tej zasadzie opierają się wszelkiego rodzaju dźwignie. Rzućmy okiem na sytuację poniżej:

moment obrotowy

Załóżmy, iż chcemy przesunąć ten brązowy głaz. Po lewej stronie bierzemy badyla długośći ‘a’ i działamy na niego siłą F. Wytwarzamy tym samym moment obrotowy F*a. Jeśli wrócimy do lasu i poszukamy badyla który ma długość 2*a to przykładając te samą siłę F wytworzymy moment obrotowy 2*a*F i głaz drgnie dużo łatwiej. Jak widać – wbrew obiegowej opinii – długość ma kolosalne znaczenie.

Podobnie jest w silniku Twego auta – moment obrotowy to siła z jaką wypychany jest tłok w cylindrze silnika pomnożona przez długość wykorbienia wału korbowego.

Na bazie wprowadzanie wyobraźmy sobie dwa koła zębate: jedno większe (z większą ilością zebów) i mniejsze (z ilością zebów mniejszą). Albo nie wyorażajmy sobie tego, tylko zerknijmy na rycinę poniżej:

przekladnia zebata Szkic powstał na potrzeby anglojęzyczne, zatem szybki kurs języka: bearing to łożysko, shaft to wał, gear – koło zębate. Opis drukowany oznacza stronę napędzającą – drive, oraz napędzaną – driven. Dobra, powróćmy do meritum:

załóżmy, że wał napędzający ma prędkość 10 obrotów na minutę, koło zębate po tej samej stronie ma 20 zębów a koło po stronie napędzanej ma zębów 30. Stosunek zębów wynosi zatem 20:30 lub trzymają się standardowego zapisu 1:1.5. Dzieląc prędkość wału napędzającego przez prawą część tego stosunku otrzymamy prędkość z jaką obraca się wał napędzany: 10/1.5 = 6.67 obrotów na minutę.

Z drugiej strony jednak wiemy, że koło napędzające działa na koło napędzane z pewną siłą F, a odległość od środka tego koła do jego zewnętrzej części wynosi a. Moment obrotowy na zębatce napędzajacej wynosi zatem F*a. Drugie koło, cfaniak jeden, będzie miał tą samą siłę F, ale większy dystans od środka na zewnątrz b. Moment obrotowy zatem wzrośnie: F*a<F*b.

Reasumując zatem: wał po stronie napędzanej będzie się kręcił z mniejszą prędkością, ale będzie przenosił większy moment obrotowy. Nawiązując zatem do pierwotnego pytania ”Jak to się dzieje, że silnik turbowałowy helikoptera obraca się z prędkością kilkunastu tysięcy obrotów na minutę i moc wytwarzana przez ten silnik napędza śmigła helikoptera które obracają się z prędkością kilkudziesięciu razy na minutę ?” odpowiedź jest taka, że poprzez układ wielu przekładni zębatych różnego rodzaju prędkość wałów jest nieustannie zmniejszana, ale tym samym moment obrotowy jest ciągle zwiększany i ostatecznie osiąga swą maksymalną wartość tam gdzie jest to najbardziej przydatne: przy samym wirniku.

Na jakiej zasadzie działają przerzutki w rowerze czy skrzynie biegów w samochodach ? Dokładnie takiej samej !


Follow

Otrzymuj każdy nowy wpis na swoją skrzynkę e-mail.